GPS与GLONASS组合定位的数学模型
摘要： 本文首先建立了GPS与GLONASS软组合定位的数学模型，然后根据对夺航和定位不同用户的要求分别采用了递推最小二乘拟合法,HeIm rt方差分圣枯计法以及Kalman滤波法对组合定位模型进行了改化，求出载体的导航宋位参数，同时对GPS与GLONASS组合系统中的基准统一问题进行了分析
关键词： GPS:G LONASS;组合定it;数学模型
O 引言
随着空间技术的发展，空间工业化、空间商业化和空间军事化将在21世纪成为大国争霸空间的焦点，导航定位渐渐发展成为一门专门研究导航原理和技术装备的学科在舰船、飞机、导弹、宇宙飞行器等载体上.导航系统是必不可少的重要设备。于是各国从自身的利益出发，纷纷推出了各种定位系统如:无线电定位系统、全球卫星定位系统、惯性导航系统
GPS是当前最先进的卫星导航定位系统，具有全球、全天候、高精度、实时定位等优点.因此在国外军事、商业等领域得到了广泛的应用。但美国为了保障自身的利益和安全，采取了各种方式人为地降低其导航与定位的精度。而前苏联的GLONASS全球卫星定位系统目前还处于示范和完善阶段，这在战时还不能发挥应有的作用。
人们对导航定位系统的要求是全球覆盖、全天候、高精度、高可靠性、快速连续显示、多功能、适于各种导航环境等。目前上述单一导航系统均不能给予满足。从实际出发，将GPS与GLONASS组合在一起，形成一个有机的整体，扩大单个导航设备的功能，兼并优点，互补缺点代形成组合导航定位系统以成为客观应用的需要。GPS与GLONASS组合定位系统〔以下简称:G&G)将有48颗卫星，从而弥补了GPS,GLONASS的局限性，同时也在整体上极大地改善了各系统的完整性和有效性
1 G&G组合定位的观测方程
根据伪距定位的模式，GPS的观测方程可写为:
八，二[(书一二，。)，+(外一夕。户)，+(z二一Z,,)Z ]1;2+b。户+vi户(1)
GLONASS的观测方程可写为:
at:二[(x},一zkL)2+ (Yi一Y})2+ (zi一ZLk)21 112+bu.+v( (2)
由于 G P S所采用的WGS-84坐标系与GLONASS所采用的SGS-85(S GS-90)不一致，为了形成统一的组合定位成果，我们分别采用下列两种方法:
”卫星坐标转换法。假若我们所需的最后成果为WGS-84坐标系下的，则可以应用现已成熟的坐标转换方法将GLONASS卫星的SGS-85坐标转换为WGS-84坐标值，这样通过(2)式所求的待定点的坐标便成为WGS-84系下的坐标值。
2) 伪距转换法。在待定点上同时观侧GPS与GLONASS定位星座，分别代人()1(2)求出待定点在GPS,GI,ONASS定位系统下的坐标，然后在将SGS-85坐标转换成WGS-84坐标
G&G组合定位的观测方程可写成下列形式:
(3) (4J
写成矩阵形式为:
v, = l,8s +二如+n;Sz一8b一Sbe,一L,
y = X B + V
L 丁 ， 万一[Ss S y 8 z Sb Sb e ] '
。」 T为 高 斯伪距剩余测量噪声
从协
L.劝
二 1
7 二:
其中:y=
V 二
X 二
{，二、。，一1一1
气为GLONASS与GPS时的同步误差产生的等效距离
2 G&G组合定位的常见数学模型
21 递推最小二乘拟合法
在各设备独立工作的基础上，对其独立定位的输出经过滤波后再作用于推算定位系统。在此过程中，根据各设备的特性，对每个输人分别给以合理的加权，使最后平差后的位置为各分离输入的最优值。当我们对测量设备比较熟悉、能够事先给出测量噪声的统计特性时，采用加权最小二乘法比一般最小二乘法的估计精度高。但加权最小二乘法仍然不能适应于计算机实时数据处理为此，我们在加权最小二乘的基础上，将算PA致造成递推形式，即利用前次的估计全和新采人的测量数据平差而产生新的估计值，以适应计算机实时处理的需要。递推加权最小二乘法每进行一次侧量就处理一次，因此不必存储历史数据，而且矩阵运算维持在低阶水平上，运算速度快，以适应实时动态导航定位的要求。
现设增加了一次采集数据为(s.+，二*z ... Y-11)。令‘ 一(yn.-).H 二
(s. s, +2… 几十二)，则(4)式变成
.GI-H !二一+{。兰1! (5)
了y )
令y,+1一(GI. X ,+ ‘一HX1{,.V'+ ，一{
Y, +,
则上式可以写成
V月斗1
=凡+1及+】+V.+,
式中及一表示由，-} l组测量数据求得的参数估值。相应地，由原始数据求得的估值万应记为万，
至此可得法方程为
叉二 沐 ，_ 刃 ， = X 共, 从十 1 汤 )
进一步改化可得
及+ ,二 B . + (X TX + F I rH ) -'H r (‘ 一 H .) (7 )
对上式中的二阶逆进行变换可得:
Q.* , = Qn 一 Q, H `(E + H Q H '`) -' HQ ., (8)
其中:E=1见是协因数阵，且弘= (XTX)-,
将(8)式代人(7)式最后得:
B ，二 及 HT (‘ 一 H 2, ) (9 )
在具体计算时可以先取足够的测量数据计算(护X)-, = Q..及I.，然后增加一个观测数据.按
8) 式、(9)式计算q+、及及，，，以后再依次增加逐次递推。
随着 观 测 数据的不断增加.会出现滤波饱和现象，使得新增加的数据不再起作用，这大大影UR了参数估计的精度。为此，我们给出了限定记忆递推滤波公式
gl,_ 一 P } + Q,;_ ,( Ir -z }y. +: 一 F} rd v) (〕).{
其中
,;_,=(X.--,X,_一H;H,)-',H:=(X X,2… X,m)
月、 、 = ( X 刊 sn+1.2 … .z 十，二匀、-=3'__一又，1.勿、二y一y,。规定数据的长度，例如，个观测数据.每次均采用最新的，上数据进行计算，当每增加一个数据就自动地剔除第一个数据。
2.2 Helmert方差分f估计
当我们对测里设备比较熟悉、能够事先给出侧量噪声的统计特性时，对每个输人分别给以合理的权，采用限定记忆递推滤波加权最小二乘法比一般最小二乘法的估计精度高、动态计算性能好但我们在对G&JG组合系统数据处理时，事先并不能知道它们各自测量噪声的统计特性，因此.很难在平差过程中赋予正确的权。随着近代测量平差理论的发展，利用Helmert方差分量估计，在满足各类或各种精度的观测值之间是随机独立的条件下，即可比较可靠的获得最佳的组合导航定位信息。
设误差方程为:
V 二 ZR 一 L (1 1 )
其中
包含GPS,GLONASS两类观测值。
由于第一次平差给出的两类观测值的权阵是不准确的，不妨假设单位权阵分别为;赫 }QOt}硫;其中端,:为两类观测值之间的单位权协方差，在本文中因为是利用GPS,GLONASS独立观侧的.因此下面的公式中Oil:二0e现将 误 差 方程分成两组v,v2，一{AZ，一心(12)相应的协方差阵为:
7。一}
&Q,
0
0
0.42
(13)
式中、Q:已知。of.端 :为待定的方差分量。
经一 系 列 推导可得G&G的Helmer:方差分量估计式如下所示〔5:
To '= W 和 T a '二 W r. (1 4)
式中:工，一t,(G TGZJ,),W ,二V'R;V,R认=L TGTR;GL
He lm er: 方差分量估计的计算步骤如下:
l)由于GPS与GLONASS的观测精度不相等，因此将侧量值分成两组，选取单位权方差和
协方差因子的初值，即确定习
2)进行第一次平差，求出
竺然
V'R:
后确定权的初值P,,,
3)按 (l4)式求Fa的第一次近似值，然后重新计算皿、和P,
4)重复进行(2).(.3)步骤，直至}端7- 'Qz0:为止。
2.3 Kalman滤法法
随着现代控制理论的发展，应用最优估计方法进行组合定位系统的理论越来越受到人们的重视。利用卡尔曼滤波技术处理G&G的测量数据.然后为系统提供最佳估计，并采用最优控制方法.将状态估计再加到系统中去，以达到极大的抑制随机误差影响的目的
线性离散Kalman滤波模型的动态方程为:
X: = 电 沂 一IX 卜 : + We (1 5 )
考虑到各种扰动因素G&C;的状态变量为:
X = 仁S 8 ,,b b 二 二 ， VN ,VE ,a x, a:二 (16)
观测方程为
L, = 儿 X ， 十 八 ( 1 7 )
若 、 ，久 是互不相关的零值白噪声，则滤波的预报修正值为:
又 4- 1= 叭 法 一1* 决_ : (l 8 )
而最佳滤波估计值为:
又 ，*= X ,. ,-} .7, (L ,一 A ,X ,,, -J ( 1 9 )
其中:J*为增益矩阵。
使用Kalman滤波技术因注意以下几个问题:
1) 初始状态的确定。在定位中，我们一般取开始两个或三个单点定位数据作为确定初始状态的信息。不妨设对应于t_Z,t-，和‘。的位置分别为(二一2,Y-2).(二_1，y一1)和(二。,.vv)，令少二‘一t_; = t_1一t-:从而可得初始位置为:s9=二。,Ys.=Yo，初始加速度为:a=n=(二+二一:一2二一) }-V ,a,%,与a.，类似。
2) Kalman滤波的稳定性。由Kalman滤波的性质知，若模型无偏差，则预报的残差应服从正态分布。而如果模型存在偏差，滤波时又未顾及，则预报的残差不再是零均值的正态分布。为此，我们还必须进行偏差的检验和定位，从而保证系统的稳定性.
3) Kalman滤波的发散现象。同样由于模型的偏差、噪声以及计算舍人误差的等，还能导致滤波的发散。这种情况发生后，虽然从表面上看，状态向t估值的协方差阵可能很小，但此时的滤波结果已发生严重的失真。目前，解决该问题的方法较多，如:Sage自适应滤波、固定增益滤波、平方根滤波以及平方根UDUT滤波算法等等。
